Unidad didáctica 1: Números naturales, enteros, decimales y potencias.

  • Sistemas de numeración.

En la Prehistoria, las tribus más primitivas, apenas sabían distinguir entre uno y muchos. Más adelante, utilizaron un lenguaje corporal (dedos, mano, codo, pie…) y con ayuda de ramas, piedras, etc. consiguieron contar números cada vez mayores.

Los símbolos que representan a los números no han sido siempre los mismos:

  •  En Mesopotamia se representaban en forma de cuña.
  •  En Egipto mediante jeroglíficos.
  •  En Grecia, las letras de su alfabeto.
  •  En Roma los símbolos que se usaron fueron: I=1;V=5; X=10; L=50; C = 100; D=500; M= 1000.
  •  Nuestro sistema de numeración actual que lo introdujeron los árabes y es de origen Hindú es:  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9

Práctica con lo números romanos, realiza los ejercicios que aparecen en el enlace anterior. ¿Te parece cómodo este tipo de numeración? ¿ Es fácil o difícil de manejar? ¿Por qué?

Nuestro sistema de numeración usa diez cifras, y es un sistema de numeración decimal (porque 10 unidades de un orden forman una unidad del orden siguiente) y posicional ya que cada cifra cambia de valor según el lugar que ocupen.

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  • Números naturales. Utilidad y orden

Los números naturales son el conjunto de números 1, 2, 3, 4, 5, …es un conjunto infinito de números y sirven para contar y ordenar.

Podemos representar los números naturales sobre una recta numérica, lo cual nos permitirá compararlos.

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  • Suma y multiplicación de números naturales. División. Jerarquía de las operaciones.

Con los números naturales podemos realizar las operaciones aritméticas básicas. Cuando sumamos o multiplicamos números naturales el resultado siempre es un número natural, pero no ocurre siempre así cuando restamos o dividimos dos números naturales ¿te atreves a poner un ejemplo?

Practica las operaciones básicas en estos enlaces

Sumas      Restas     Productos     Divisiones

Practica ahora las operaciones combinadas, recuerda que la jerarquía de las operaciones es: paréntesis, multiplicaciones o divisiones y, por último,sumas y restas.

Jerarquía de operaciones

– Operaciones combinadas

  • Potencias de números naturales. Notación científica

Como hemos visto anteriormente, en el sistema en base 10 (sistema de numeración decimal) se usan 10 cifras para representar todos los números, desde el 0 hasta el 9, y se tiene en cuenta la posición de las cifras para dar el valor del dígito, de modo que la posición es una potencia de 10. Así, el número 13 lo podemos escribir de la siguiente manera:

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Pero como sabes existen otros sistemas de numeración. Por ejemplo el sistema binario, o sistema en base 2, de forma que las cifras disponibles son el 0 y el 1, y el valor de posición es una potencia de 2.

El número 13 en el sistema binario se obtiene de la siguiente manera: se divide el número 13 entre 2 obteniéndose 6 de cociente y 1 de resto. El cociente (6) lo volvemos a dividir entre 2 y obtenemos 3 de cociente y 0 de resto. Seguimos este proceso dividiendo los sucesivos cocientes entre 2 y el proceso se acaba cuando obtengamos un cociente cuyo valor sea 1. Las cifras que componen el número 13 en el sistema binario se escriben comenzando por la correspondiente al último cociente obtenido (siempre será un 1) y siguiendo por las correspondientes a los sucesivos restos de las divisiones comenzando por el resto obtenido en la última división y finalizando por el resto obtenido en la primera división. De esta manera el número 13 se escribe como 1101 en el sistema binario.

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La potencia es una forma abreviada de poner un producto de factores iguales. Aquí tienes un ejercicio para que puedas practicar los conceptos básicos de potencia.

Las potencias nos pueden ayudar a representar números muy grandes o muy pequeños, mira este vídeo

Usando las potencias podemos descomponer un número natural en suma de potencias de 10, a este procedimiento se le llama descomposición polinómica de un número natural.

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Las propiedades de las potencias son

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Ejercicios para practicar

  • Los números enteros

¿Qué sería de nosotros sin los números enteros? Situaciones que de manera tan habitual sabemos interpretar como dar al botón adecuado en un ascensor para bajar a un garaje o saber si hace mucho frío mirando un termómetro, no nos resultaría fáciles sin los números enteros.

Pero los números positivos y negativos, el cero, los símbolos que usamos en matemáticas no aparecieron de repente. Por ejemplo, el cero tardó mucho tiempo en usarse, se cree que fueron los hindúes en el año 650 d.C. cuando lo empiezan a usar como representación de la nada, si bien hay indicios de que la cultura maya ya usaba algo parecido al 0 para esa representación; o los signos + y – , que se empezaron a manejar en el siglo XV, apenas hace 600 años….hasta entonces se usaban palabras o abreviaturas, imagina qué engorroso sería hacer operaciones.

Ya sabes, como al personaje de esta escena, los números forman parte de nuestro día a día, ¿encuentras alguna situación dónde se usen números negativos?

Para representar los números enteros se dibuja una recta numérica, colocando el cero en el centro, los negativos a la izquierda y los positivos a la derecha. Practica en este enlace.

El valor absoluto de un número entero es el valor que tiene prescindiendo del signo. Para expresarlo se usan dos barras verticales.

Actividad 1
Actividad 2
  • El orden de los números enteros

¿Cómo saber qué número entero es mayor que otro?, para ordenar enteros podemos usar la representación en la recta numérica y decidir cuál es mayor o menor.

Practica con estos ejercicios: ejercicio 1, ejercicio 2.

  • Operaciones con números enteros

Para sumar dos números enteros tenemos que mirar si son del mismo signo, si lo son solo tengo que sumar los números y poner el signo que lleven los dos. Si los enteros tienen signo contrario, se resta del mayor el menor (en valor absoluto) y se coloca el signo del mayor (en valor absoluto).

Practica con este sencillo juego, practica varias veces. Ahora en estas actividades:

Actividad 1Actividad 2Actividad 3.

Cuando aparezca un número entero entre paréntesis, tenemos que tener en cuenta que si antes del paréntesis hay un signo -, el entero cambiará de signo ( me quitan dos puntos negativos, es equivalente a tener dos positivos -(-2)=2), por el contrario si antes del paréntesis hay un signo +, el entero no cambia de signo (me dan dos puntos negativos es equivalente a tener dos negativos +(-2)=-2)

Puedes practicar ejercicios más difíciles en este enlace.

Aprende paso a paso aquí.

  • Los números decimales.

Aunque los números decimales eran conocidos y utilizados por árabes y chinos, se atribuye generalmente al científico y matemático belga Simon Stevin (1548-1620), la introducción de los decimales en el uso común. Stevin no utilizó nuestro actual sistema de notación sino un sistema propio un tanto enrevesado. Así, donde nosotros escribimos 923,456, él lo hacía: 923(0) 4(1) 5(2) 6(3) simbolizando 923 unidades donde el cero sería nuestra coma; 4 décimas, representadas por el número uno; 5 centésimas, representadas por el número dos; 6 milésimas, representadas por el número tres, y así sucesivamente. Más tarde, el suizo Jobst Bürgi (1552-1632) simplificó esa notación eliminando la mención del
orden de las unidades decimales consecutivas y poniendo junto a la cifra de las unidades el signo °. Así, el número 923,456 se escribía como: 923°456. En lo que respecta a nuestra coma decimal no se popularizó su uso hasta que no fue utilizada por el escocés John Napier (1550-1617).

Actualmente, en los países anglosajones se utiliza un punto para separar la parte entera de la decimal. Así el número anterior se representa 923.456, que por otra parte es la notación que nosotros utilizamos en muchas ocasiones, por ejemplo en la calculadora. Se cree que este forma de representar los decimales comenzó en 1616 con la traducción de una obra de Napier al inglés realizada por E. Wright.
Antes de continuar puedes repasar los conocimientos que ya tienes de los números decimales.
Juega representando números decimales
  • Comparación de números decimales. Aproximación.
Si la unidad se divide en 10 partes iguales, cada una de ellas es una décima; si una décima se vuelve a dividir  en 10 partes iguales (la unidad habrá quedado dividida en 100), se obtienen centésimas. Y, si seguimos, aparecen milésimas, diezmilésimas, cienmilésimas, millonésimas
Aproximar: es sustituir, a partir de cierto lugar, todas las cifras por ceros; si la primera cifra que se sustituye es 5 o mayor que 5 se aumenta en uno la cifra anterior a la sustituida
¿Entiendes los números decimales? Practica en los siguientes enlaces:
Lectura de números decimales
Aproximación de números decimales
Descomposición de un número decimal
Comparación de números decimales
  • Operaciones básicas con números decimales.
El cálculo mental te será muy útil para mejorar tus habilidades en las operaciones con decimales:
 Repasa las operaciones básicas:
 
Ejercicios de operaciones combinadas Practica resolviendo distintos ejercicios en tu cuaderno. Comprobar la solución, con todos sus pasos, te ayudará a corregir tus fallos.
  • Tipos de números decimales

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Practica la clasificación de números decimales aquí.